編按：

小窩曾介紹運(yùn)用LAMBDA自定義函數(shù)重復(fù)調(diào)用函數(shù)自身實(shí)現(xiàn)遞歸運(yùn)算。那能否不自定義函數(shù)而直接寫(xiě)公式實(shí)現(xiàn)遞歸呢？可以！用LET函數(shù)直接在公式中定義變量，并在LAMBDA中重復(fù)調(diào)用變量自身即可實(shí)現(xiàn)遞歸。

問(wèn)題：是否是遞歸公式？

一名愛(ài)好專(zhuān)研函數(shù)的學(xué)員提出了兩個(gè)問(wèn)題：為何以下公式可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)化？這是遞歸公式嗎？

=LET(f,LAMBDA(f,x,y,IF(y,f(f,y,MOD(x,y)),B2/x&"/"&C2/x)),f(f,B2,C2))

此處分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)化也可以用以下更好理解的公式：

=TEXTJOIN("/",,B2:C2/GCD(B2:C2))

說(shuō)明：

GCD函數(shù)比較少用，它是求最大公約數(shù)的函數(shù)，可以求兩個(gè)以及多個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。用TEXTJOIN函數(shù)以“/”作為分隔符，將B2、C2分別除以最大公約數(shù)后的商組合起來(lái)得到簡(jiǎn)化的分?jǐn)?shù)。

LET+LAMBDA遞歸公式寫(xiě)法

《新函數(shù)LAMBDA的用法（下）——遞歸運(yùn)算詳解》中，利用定義名稱(chēng)自定義函數(shù)，并且該函數(shù)在自身的LAMDAD公式中被重復(fù)調(diào)用，實(shí)現(xiàn)了遞歸運(yùn)算。

求任意兩個(gè)整數(shù)之間序列值的和，如求5到10的和，自定義函數(shù)S進(jìn)行遞歸運(yùn)算：

如果不用自定義函數(shù)做遞歸運(yùn)算，也可直接在編輯欄寫(xiě)公式，用LET函數(shù)定義變量并重復(fù)調(diào)用實(shí)現(xiàn)遞歸。

同樣求5到10的和，公式可以寫(xiě)成：

=LET(a,LAMBDA(a,x,y,IF(x=y,x,x+a(a,x+1,y))),a(a,A8,B8))

此處公式中，LET定義了一個(gè)變量（名稱(chēng)）a。a等于表達(dá)式LAMBDA(a,x,y,IF(x=y,x,x+a(a,x+1,y)))。

遞歸，必須要實(shí)現(xiàn)函數(shù)（變量）對(duì)自身的循環(huán)調(diào)用。把自定義S函數(shù)公式與a變量表達(dá)式進(jìn)行比較：

可以看出，它們的結(jié)構(gòu)都是一樣的，實(shí)現(xiàn)了自身的重復(fù)調(diào)用。

兩者的區(qū)別在于：

自定義S函數(shù)可以直接被自身公式調(diào)用，所以LAMBDA只有兩個(gè)運(yùn)算變量X和Y，變量循環(huán)式S(x+1,y)只交代兩個(gè)變量的循環(huán)方式；

而LET公式中自定的a變量須要作為LAMBDA的一個(gè)變量存在才能調(diào)用，因此LAMBDA有3個(gè)變量a、X、Y，變量循環(huán)式a(a,x+1,y)交代3個(gè)變量的循環(huán)方式。（不了解變量循環(huán)式的請(qǐng)一定查看《新函數(shù)LAMBDA的用法（下）——遞歸運(yùn)算詳解》）

如果在LET公式中不把自定的a變量作為LAMBDA變量，而采用自定義函數(shù)的方式書(shū)寫(xiě)公式，則LAMBDA表達(dá)式中的a會(huì)被當(dāng)作不可識(shí)別的文本，會(huì)出現(xiàn)“#NAME!”錯(cuò)誤。

因此，如果用LET+LAMBDA直接寫(xiě)公式做遞歸運(yùn)算，相比自定義遞歸函數(shù)，只需把定義的變量作為LAMBDA的一個(gè)新增變量即可。

答案

現(xiàn)在來(lái)看學(xué)員的問(wèn)題。

公式：

=LET(f,LAMBDA(f,x,y,IF(y,f(f,y,MOD(x,y)),B2/x&"/"&C2/x)),f(f,B2,C2))

這就是一個(gè)典型的遞歸公式。

LET函數(shù)自定義變量f既等于整個(gè)LAMBDA表達(dá)式，同時(shí)又是LAMBDA的一個(gè)變量；

變量循環(huán)式f(f,y,MOD(x,y))調(diào)用了自定義變量f，并交代了三個(gè)變量的循環(huán)方式：f保持不變，x等于y，y等于x除以y的余數(shù)；

如果y不等于0，則通過(guò)變量循環(huán)式f(f,y,MOD(x,y))不斷的循環(huán)，直到y等于0；

當(dāng)y等于0，則輸出最終結(jié)果B2/x&"/"&C2/x；

最后f(f,B2,C2)，為表達(dá)式f的三個(gè)變量賦值并進(jìn)行運(yùn)算。

具體的遞歸運(yùn)算過(guò)程分解如下：

可能部分伙伴會(huì)問(wèn)：為何這樣的遞歸就實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)化？

其實(shí)，整個(gè)變量的循環(huán)取值過(guò)程就是用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)。當(dāng)Y等于0時(shí)，X就是703和1591的最大公約數(shù)。

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